Женя – проницательный мечтатель

Женя

Мне проще жить одним днем, лишь немного зная о следующем. Освобождается много места для более полезной информации.

Читать далее “Женя – проницательный мечтатель”

Мэг Джей – Важные годы молодости

Важные годы. Почему не стоит откладывать жизнь на потом. Мэг Джей Каждый год перед днем рождения, я сам задумываюсь: как прошел год, что я сделал и чего добился. Честно признаться, последние пару лет меня не совсем радуют. Невольно задумываешься, а что ты делаешь не так, даже если со стороны выглядит всё неплохо? И в месяцах раздумий, всего 3 дня назад мне на глаза попалась книга «Важные годы. Почему не стоит откладывать жизнь на потом» написанная Мэг Джей, доктором в клинической психологии (она не просто какая-то мотивационный спикер).

Это наименее позитивная книга, которую мне довелось читать в области личностного развития. Впрочем, именно с неё можно начинать интересоваться этой темой.

Я еще не знаю ответ на заданный мной вопрос. И, тем более, станет ли эта книга, той, которая заставит меня просыпаться рано утром и действовать безотлагательно?

Читать далее “Мэг Джей – Важные годы молодости”

Денис – отзывчивый человек и заядлый романтик

Денис – отзывчивый человек и заядлый романтик

Мир постоянно меняется, нужно обновлять свои взгляды. Все мы движемся, а движение – жизнь.

Читать далее “Денис – отзывчивый человек и заядлый романтик”

Техники доказательства теорем

Еще один вольный перевод отрывка из книги “The Language of Mathematics: Utilizing Math in Practice” by Robert L. Baber.

Часто используемые техники при доказательстве теорем (в суждениях формы X => Y, [если X, то Y]):

  • Классический подход представляет из себя простое преобразование антецедента X в консеквент Y. Применяемое преобразование должно показать эквивалентность выражений или факт того, что из верности одного утверждения следует следующее.
  • Также возможно показать, что суждение вида X => Y эквивалентно логической константе Истина для всего набора значений переменных используемых в выражении теоремы. Могут быть использованы преобразования, которые демонстрируют эквивалентность, либо обратное следование. В то время, как нет смысла использовать прямое следование, т.к. из Истины следует что угодно и подобное преобразование ничего не покажет в качестве доказательства.
  • Можно доказать противоречие, которое покажет, что cсуждение X => Y не может быть ложным. Обычно это осуществляется изначальным предположением, что выражение X => Y ложно (метод “от противного”, например, можно предположить, что X Истина, а Y Ложно) и демонстрацией факта противоречия.  Т.е. если предположение (X и не(Y)) ложно, то не(X и не(Y)) истинно, что эквивалентно выражению (не(X) или Y), которое есть эквивалентом импликации X=>Y, является истиной и доказывает теорему.
  • Одной из стандартных техник доказательства является индукция. Сначала теорема доказывается для базового случая. После чего, следует доказать, что если для этого случая теорема верна, то это также верно и для всех остальных подобных ситуаций. Например, следует доказать, что теорема верна для n=0, и если это так, то доказать в общем виде истинность для случаев n и n+1 (где n – это все положительные целые).
  • Другим подходом может быть таблица истинности, содержащая все возможные комбинации значений переменных из выражения теоремы и показывающая их соответствие со значениями (истинными или ложными) самого утверждения теоремы. Если всё советует между собой, то теорема считается доказанной, иначе будут выявлены контрпримеры. Данный подход работает для комбинаций малых объемов или случаев, когда мы можем разбить их на небольшие категории.

Стоит отметить, что не существует стандарта, общего пути или определенного набора шагов, которые обязательно докажут теорему. Поэтому поиск доказательства – это творческий процесс.

Чем больше теорем вы докажете, пользуясь доступными техниками и инструкциями, тем больше будет расти ваш математический навык. А практика и опыт, в свою очередь, позволят вам сделать математику доступной для понимания и использования.

Составляющие математического мышления

Вчера в Национальной библиотеке Франции, при поиске математического словаря, мне на глаза попалась занимательная книжка: “Mathematical Thinking. How to Develop it in the Classroom by Masami Isoda and Shigeo Katagiri” (2012). Отрывки работ этих авторов легко можно найти в Интернете. К сожалению (для меня), эта книга больше о том, как помочь другим (школьникам начальной и средней школы) сформировать математическое мышление и никак не рассматривает более поздние периоды или самостоятельное формирование подобного навыка.

Не менее важно, что они отмечают необходимость коммуникации между учеными и педагогами.

Материал построен на утверждении, что, если заинтересовать школьника математикой, предложить ему особый набор задач в сочетании с педагогическими методами, тогда уже он сможет продвинуться дальше самостоятельно. Проблематика работы с более взрослыми людьми не затрагивается. В самом начале книги, говоря о высокой необходимости развития математического мышления, они приводят текст цели японского школьного образования со ссылкой на реформы:

“… To develop qualifications and competencies in each individual schoolchild, including the ability to find issues by oneself, to learn by oneself, to think by oneself, to make decisions independently and to act. So that each child or student can solve problems more skillfully, regardless of how society might change in the future.”

Примерный смысловой перевод, будет такой:

“… Развить квалификации и компетенции в каждом школьнике, включая возможность находить и самостоятельно ставить перед собой задачи, учиться и думать, принимать независимые решения и действовать. Таким образом, каждый ребенок или учащийся сможет решать возникающие задачи более искусно и умело, несмотря на изменения общества в будущем.”

Далее приводится аргументация, почему математическое мышление, как нельзя лучше отвечает вопросам развития пресловутых “Problem Solving and Decision Making skills”.

Читать далее “Составляющие математического мышления”