Автор: , Август 25, 2015 в 5:24 пп

Техники доказательства теорем

Еще один вольный перевод отрывка из книги “The Language of Mathematics: Utilizing Math in Practice” by Robert L. Baber.

Часто используемые техники при доказательстве теорем (в суждениях формы X => Y, [если X, то Y]):

  • Классический подход представляет из себя простое преобразование антецедента X в консеквент Y. Применяемое преобразование должно показать эквивалентность выражений или факт того, что из верности одного утверждения следует следующее.
  • Также возможно показать, что суждение вида X => Y эквивалентно логической константе Истина для всего набора значений переменных используемых в выражении теоремы. Могут быть использованы преобразования, которые демонстрируют эквивалентность, либо обратное следование. В то время, как нет смысла использовать прямое следование, т.к. из Истины следует что угодно и подобное преобразование ничего не покажет в качестве доказательства.
  • Можно доказать противоречие, которое покажет, что cсуждение X => Y не может быть ложным. Обычно это осуществляется изначальным предположением, что выражение X => Y ложно (метод “от противного”, например, можно предположить, что X Истина, а Y Ложно) и демонстрацией факта противоречия.  Т.е. если предположение (X и не(Y)) ложно, то не(X и не(Y)) истинно, что эквивалентно выражению (не(X) или Y), которое есть эквивалентом импликации X=>Y, является истиной и доказывает теорему.
  • Одной из стандартных техник доказательства является индукция. Сначала теорема доказывается для базового случая. После чего, следует доказать, что если для этого случая теорема верна, то это также верно и для всех остальных подобных ситуаций. Например, следует доказать, что теорема верна для n=0, и если это так, то доказать в общем виде истинность для случаев n и n+1 (где n – это все положительные целые).
  • Другим подходом может быть таблица истинности, содержащая все возможные комбинации значений переменных из выражения теоремы и показывающая их соответствие со значениями (истинными или ложными) самого утверждения теоремы. Если всё советует между собой, то теорема считается доказанной, иначе будут выявлены контрпримеры. Данный подход работает для комбинаций малых объемов или случаев, когда мы можем разбить их на небольшие категории.

Стоит отметить, что не существует стандарта, общего пути или определенного набора шагов, которые обязательно докажут теорему. Поэтому поиск доказательства – это творческий процесс.

Чем больше теорем вы докажете, пользуясь доступными техниками и инструкциями, тем больше будет расти ваш математический навык. А практика и опыт, в свою очередь, позволят вам сделать математику доступной для понимания и использования.