Составляющие математического мышления

Вчера в Национальной библиотеке Франции, при поиске математического словаря, мне на глаза попалась занимательная книжка: “Mathematical Thinking. How to Develop it in the Classroom by Masami Isoda and Shigeo Katagiri” (2012). Отрывки работ этих авторов легко можно найти в Интернете. К сожалению (для меня), эта книга больше о том, как помочь другим (школьникам начальной и средней школы) сформировать математическое мышление и никак не рассматривает более поздние периоды или самостоятельное формирование подобного навыка.

Не менее важно, что они отмечают необходимость коммуникации между учеными и педагогами.

Материал построен на утверждении, что, если заинтересовать школьника математикой, предложить ему особый набор задач в сочетании с педагогическими методами, тогда уже он сможет продвинуться дальше самостоятельно. Проблематика работы с более взрослыми людьми не затрагивается. В самом начале книги, говоря о высокой необходимости развития математического мышления, они приводят текст цели японского школьного образования со ссылкой на реформы:

“… To develop qualifications and competencies in each individual schoolchild, including the ability to find issues by oneself, to learn by oneself, to think by oneself, to make decisions independently and to act. So that each child or student can solve problems more skillfully, regardless of how society might change in the future.”

Примерный смысловой перевод, будет такой:

“… Развить квалификации и компетенции в каждом школьнике, включая возможность находить и самостоятельно ставить перед собой задачи, учиться и думать, принимать независимые решения и действовать. Таким образом, каждый ребенок или учащийся сможет решать возникающие задачи более искусно и умело, несмотря на изменения общества в будущем.”

Далее приводится аргументация, почему математическое мышление, как нельзя лучше отвечает вопросам развития пресловутых “Problem Solving and Decision Making skills”.

Но, самое интересное, что я нашел в первой части книги, так это список типов математического мышления, которые и определяют ниже описанные возможности:

Математический образ мысли (Мышление) составляют:

  • Стремление понять ситуации, цели и истинный смысл, четко и самостоятельно (целеустремленность), что включает в себя:
    • Стремление задавать вопросы;
    • Стремление быть осведомленным в ситуации;
    • Стремление понять математическую задачу, происходящую из ситуации.
  • Стремление предпринять логические и благоразумные действия (рациональность):
    • Стремление предпринять действия, соответствующие поставленным целям;
    • Стремление выяснить будущие перспективы и последствия;
    • Стремление думать на основе данных, которые могли бы быть использованы повторно, на основе уже изученных элементах и допущениях.
  • Стремление представлять материалы понятно и просто (ясность), включает в себя:
    • Стремление вести записи, обсуждать задачи и полученные результаты в ясной и простой форме;
    • При представлении материалов: стремление к организованности и упорядоченности предметов.
  • Стремление к поиску лучших путей и идей (изощрённость), включает в себя:
    • Стремление мыслить от намерения к действию;
    • Стремление проводить, как субъективную, так и объективную оценку, выделять самое главное (рафинирование);
    • Стремление эффективно мыслить и прилагать усилия.

 

Математическое мышление, связанное с математическимм методами (в общем смысле) составляет:

    • Способность получать индуктивные умозаключения;
    • Мышление аналогиями;
    • Способность получать дедуктивные умозаключения;
    • Интегративное мышление (включая пространственное мышление);
    • Критическое мышление;
    • Абстрактное мышление (абстрагирование);
    • Возможность думать об упрощении;
    • Возможность думать об обобщении;
    • Возможность думать о конкретизации;
    • Возможность думать о формулировании и представлении материалов;
    • Возможность “думать цифрами”, количественными характеристиками и графиками (оценка и схематизация).

 

Математическое мышление, связанное с математическими материалами (Математические идеи), включает в себя:

  • Выявление предметов множеств, условий принадлежности множеству, и нахождение исключений (идея о множествах);
  • Фокусировка на составных частях (элементах), их размерах и отношениях между ними (идея об элементах);
  • Стремиться думать на основании фундаментальных принципах представления материалов (идея о представлении). При этом математическое представление материалов не ограничено только математическими выражениями: математическими суждениями и формулами;
  • Прояснение, расширение значений и смысла вещей, математических операций (идея об операциях);
  • Стремление к формализации операций (идея об алгоритмах);
  • Стремление охватить как можно большую картину предметов и операций, после чего использовать результаты нового осознания (идея об аппроксимации);
  • Быть сфокусированным на базовых правилах и свойствах (идея о фундаментальных свойствах);
  • Стремиться сфокусироваться на том, что позволило сформулировать заключения, чтобы получить и использовать правила взаимоотношений между переменными (функциональное мышление);
  • Стремиться представить предложения (идеи) и взаимоотношения, как математические выражения, уметь читать и понимать их смысл (идея о выражениях).

Выглядит вполне очевидно, но, когда собрано всё вместе –достаточно красиво.

На мой взгляд – это важно и можно использовать, как план для саморазвития. Поскольку целое государство поставило своей целью развитие независимого мышления, нашло математическое, как единственное с достаточной аргументацией и соответствием поставленным целям,- то это определенно может стать мышлением общества будущего.

Некоторую часть этого списка покрывает курс Introduction to Mathematical Thinking (Stanford).